Фамилия Базолева — женская форма, мужская — Базолев. Это фамилия русского типа, образованная с помощью патронимического суффикса -ев, который в древности указывал на принадлежность: «чей?» — Базолев, то есть сын Базоля. Основа здесь — прозвище или нецерковное имя Базоль.

Слово «базоль» в русских говорах имеет несколько значений, и самое вероятное связано с диалектным «базлать» — громко кричать, орать, петь нестройно. В этом случае Базоль — прозвище крикливого человека, горлана или того, кто работал с громкими звуками, например, глашатая или пастуха, сзывавшего скотину. В некоторых южнорусских говорах «баз» — это скотный двор, так что Базоль мог быть скотником или человеком, жившим при базе (загоне). Менее вероятна, но возможна связь с тюркским «баз» — «голова», «глава», хотя для центральной России это скорее исключение.

Фамилия Базолев — редкая. Она не встречается в дворянских родословных книгах и не принадлежала к известным купеческим династиям. Скорее всего, её носили крестьяне или мещане из центральных или южных губерний России, где диалектные слова «базоль» и «базлать» были в ходу. Суффикс -ев указывает на то, что основа оканчивалась на мягкий согласный или -ь, что типично для прозвищ, перешедших в фамилии.

Похожие по модели фамилии — Базлов, Базлуков, Базеев — все они восходят к тому же корню, но с разными суффиксами. Базолева же выделяется именно формой на -оль, что делает её более архаичной и привязанной к конкретному прозвищу, а не к имени. Если ваш предок носил такую фамилию, он, вероятно, был человеком с громким голосом или жил при скотном дворе — в любом случае, прозвище было ярким и запоминающимся.