Фамилия Базрушкина — женская форма от мужской фамилии Базрушкин. В русской традиции фамилии на -ин обычно образовывались от основ, оканчивающихся на -а или -я, и указывали на принадлежность: «чей?» — «сын Базрушки». Поэтому ключ к происхождению — в прозвище или имени Базрушка.

Самый очевидный путь — разобрать основу «Базруш-». В ней угадывается корень «баз-», который в русских говорах имел несколько значений. В диалектах «база» — это не только рынок, но и двор, скотный двор, а также крикливый, шумный человек. Суффикс «-ушк-» в русских прозвищах часто носил уничижительный или уменьшительный оттенок. Таким образом, Базрушкой могли назвать человека, который постоянно торговался на базаре, держал постоялый двор или просто был «базой» — горластым и беспокойным.

Вторая, менее вероятная, но возможная версия — связь с тюркскими корнями. В татарском и башкирском языках есть слово «баз» (дави, нажимай) или «базлык» (настойчивость). Если фамилия бытует в регионах Поволжья или на Урале, её основа могла быть заимствована из местных языков. Однако в этом случае мы бы чаще встречали фамилию Базруков или Базрушев, а суффикс «-ушк-» как раз указывает на чисто русскую, «домашнюю» форму прозвища.

Географически фамилия редкая. Встречается преимущественно в центральной России и в Поволжье, но не образует плотных гнёзд. Это говорит о том, что фамилия возникла в одном или нескольких локальных родах, а не разошлась от крупного помещичьего рода. Сословно предки Базрушкиных, скорее всего, были крестьянами или мещанами — прозвища такого типа (по поведению или занятию) редко закреплялись за дворянами.

Интересная деталь: написание фамилии с буквой «з» вместо более привычного «с» (Баструшкина) может указывать на южнорусское происхождение, где звонкие согласные в начале слова произносились отчётливее, или на то, что в основе лежало именно слово «база», а не «бастр» (нечто негодное). В любом случае, Базрушкин — это фамилия-прозвище, которая прямо говорит о характере или роде занятий далёкого предка.