Фамилия Базяко звучит так, будто её владелец родом из украинского или белорусского Полесья. В ней нет ни типичного русского суффикса -ов, ни польского -ский. Всё дело в окончании -о, которое в украинском языке часто маркирует фамилии, образованные от прозвищ или имён с уменьшительными суффиксами. В данном случае основа — «Базяк», а -о — это скорее всего патронимический окончание, указывающее на происхождение («чей?» — Базяков сын, сокращённо до Базяко).

Корень «Баз-» почти наверняка восходит к имени Базя — народной, разговорной форме канонического имени Евсевий (в просторечии Евсей). В украинском и белорусском языках имя Евсей легко превращалось в Базь, Базя, Базыль, откуда и пошли фамилии вроде Базько, Базенко и Базяко. Вторая версия, менее вероятная, связывает основу с диалектным глаголом «базикати» — болтать, пустословить. Тогда прозвище Базяк мог получить говорливый человек. Но имяобразование — более надёжный путь, так как подавляющее большинство восточнославянских фамилий на -ко происходят именно от крестильных имён.

Географически фамилия Базяко тяготеет к западным областям Украины, особенно к Волыни и Галиции, а также к югу Беларуси. В России она встречается редко и почти всегда — следствие переселения или миграции XX века. В ревизских сказках и метрических книгах XIX века её можно найти в селах Ровенской и Житомирской губерний. Социальный срез — крестьяне и мещане, реже казаки.

Сравнение с однокоренными фамилиями проясняет детали. Базяк (без окончания) — более старая форма, прямое прозвище. Базяко — уже «сын Базяка». А вот Базяков — это русифицированный вариант, появившийся при переписях, когда чиновники добавляли стандартное -ов к украинской основе. Поэтому, если у вас фамилия именно Базяко, а не Базяков, можно с высокой долей уверенности говорить о прямом украинском или белорусском происхождении, без позднейшей обрусевшей переделки.