Фамилия Беченков — один из примеров, где на слух кажется очевидным корень «беч», но на деле всё сложнее. В русских фамилиях нет исконного слова «беч» в значении «бич» или «плеть» (это заимствование, и оно не дало массовых прозвищ). Поэтому искать основу стоит в другом месте.

Скорее всего, Беченков — это «окающий» вариант фамилии Биченков. В южнорусских и некоторых среднерусских говорах «е» на месте «и» под ударением — обычное дело. Тогда корень — «бич», но не как орудие наказания, а как сокращённая форма от имени Викентий (народное Викентий → Викен → Бикен, с последующим озвончением и типичным чередованием). В дореволюционных метриках можно встретить крестьян Викентия, которых в быту звали Биченя. Суффикс -ков указывает на принадлежность: Биченя → Биченков — «сын Бичени».

Есть и второй, менее вероятный путь: от прозвища Беченя, которое могло означать человека, живущего у реки Беченка. Такая речка есть в бассейне Оки (например, в Калужской области). Тогда фамилия — топонимическая, по названию местности, где жил первый носитель.

Фамилия редкая, сконцентрирована в основном в центральных и южных регионах России — Курская, Воронежская, Ростовская области. Встречается и у донских казаков, что косвенно подтверждает связь с прозвищем или именем, а не с ремеслом. Дворянских родов Беченковых в гербовниках нет, значит, фамилия крестьянская или мещанская, типичная для сельских сословий, где отчество от внутрисемейного имени закреплялось как фамильное в XIX веке.

Сравнение с однокоренными: Биченков, Беченко (украинский вариант), Бичков — все они восходят к той же основе, но Беченков выделяется именно «окающим» произношением, которое застыло в документах. Если ваш предок писался через «е», скорее всего, он был выходцем с юга России, где «бич» звучало как «беч».