Фамилия Бедошвили — грузинская, и её разумнее всего разбирать не с корня, а с характерного суффикса. Окончание -швили (в русской передаче часто пишется слитно) — один из самых распространённых патронимических формантов в восточной Грузии, особенно в Кахетии и Картли. Буквально -швили означает «дитя» или «рождённый», то есть Бедошвили — это «дитя Бедо». В отличие от фамилий на -дзе («сын»), которые преобладают в западной Грузии, -швили указывает скорее на происхождение от отца или рода, а не на кровное родство по мужской линии в узком смысле.

Основа «Бедо» — это, скорее всего, сокращённая или народная форма от христианского имени. В Грузии было распространено имя Бедан (или Беда, Бедо), которое, в свою очередь, восходит к греческому Виктор («победитель») или, по другой версии, к арамейскому имени, означающему «одинокий» или «уединённый». В грузинской ономастике имя Беда фиксируется в средневековых источниках, и от него образован целый ряд фамилий: Бедашвили, Бедадзе, Бедукадзе. Бедошвили — один из вариантов, где основа могла слегка измениться под влиянием местного произношения или для благозвучия.

Менее вероятно, но не исключено, что «Бедо» — это не имя, а прозвище. В грузинских говорах слово «беда» имеет значение «несчастье» или «беда», но давать человеку фамилию от такого негативного понятия напрямую было не принято. Скорее, прозвище Бедо мог получить либо человек с трудной судьбой, либо, наоборот, ироничное прозвище «горемыка» для весёлого человека. Однако в контексте фамилий на -швили, где основа почти всегда восходит к личному имени, версия с именем Бедан/Бедо выглядит убедительнее.

Географически фамилия Бедошвили тяготеет к восточным регионам Грузии. Встречается она нечасто, что говорит о её относительно локальном распространении — возможно, предки носителей жили в одном селе или ущелье. В отличие от массовых фамилий вроде Мамаладзе или Квиташвили, Бедошвили сохраняет более узкую родовую привязку. Сословно грузинские фамилии на -швили могли принадлежать как князьям (тавади), так и крестьянам, и дворянам, поэтому по одному суффиксу определить социальный статус предков Бедошвили невозможно — нужны конкретные записи из церковных книг или ревизских сказок.

В русском языке фамилия пишется через «е» — Бедошвили, хотя в грузинском оригинале первая гласная может произноситься ближе к «э». Ударение в русском быту обычно падает на второй слог — Бедóшвили, хотя в грузинском языке ударение слабое и тоническое, так что в речи самих грузин оно может смещаться. Если вы ищете свои корни, стоит обратить внимание на метрические книги Грузинской православной церкви XIX века по Кахетии или Картли — именно там с наибольшей вероятностью можно найти записи о носителях этой фамилии.