Фамилия Бегайкина — женская форма фамилии Бегайкин, и её разговорный вариант с ударением на второй слог (Бега́йкин) или третий (Бегайки́н) не меняет сути. Основа здесь — прозвище или некалендарное имя Бегайка, которое образовано от глагола «бегать». В русских говорах «бегайка» могли называть непоседливого, подвижного человека, который не сидит на месте. Такие прозвища давали детям или взрослым за характер, и они закреплялись в качестве уличных фамилий.

Словообразовательная модель типична для восточнославянских фамилий: основа на -а (Бегайк-) плюс суффикс -ин, который указывает на принадлежность: «чей сын?» — Бегайкин, то есть сын Бегайки. Суффикс -к- в основе (Бегайка) нередко придаёт прозвищу уменьшительно-ласкательный или бытовой оттенок, как в именах Ванька, Сенька. То есть Бегайка — не просто «бегун», а скорее «бегунок», «егоза».

Географически фамилия встречается преимущественно в Поволжье и на Урале, особенно в Самарской и Оренбургской областях, а также в Башкортостане. Это объяснимо: в этих регионах в XVIII–XIX веках активно селились государственные крестьяне и однодворцы, у которых были распространены прозвищные фамилии, не связанные с дворянскими родами. Среди носителей фамилии Бегайкиных нет известных исторических личностей — это фамилия крестьянского и мещанского сословия, что типично для модели на -ин.

Есть и альтернативная, но менее вероятная версия: от тюркского корня «бегай» (в значении «беги» или «убегай»), что могло быть прозвищем в смешанных русско-татарских семьях. Однако фонетически русская основа «бегать» выглядит убедительнее, тем более что фамилия зафиксирована в чисто русских говорах. Спорных гипотез здесь немного, и основная — именно от глагола движения.