Фамилия Бегайкины — одна из тех, где прозвище, лёгшее в основу, образовано от глагола «бегать» с помощью суффикса -к(а). Прозвище Бегайка, скорее всего, дали человеку с быстрой, лёгкой походкой или тому, кто всё делал на бегу, не любил медлить. Реже в нём видят указание на занятие: гонец, посыльный, скороход — профессии, где скорость была главным качеством.

Любопытно и переносное значение глагола «бегать» — «избегать, сторониться». В этом случае прозвище могло закрепиться за отшельником или человеком нелюдимым, который «бегал» людей. Обе версии имеют право на существование, но первая — с акцентом на подвижность — встречается в русской ономастике чаще.

Суффикс -ин в фамилии указывает на принадлежность: Бегайкин — буквально «сын Бегайки» или «из семьи Бегайки». Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ и имён на -а/-я.

Никаких документальных свидетельств о точном времени и месте возникновения фамилии Бегайкины не сохранилось — процесс становления фамилий шёл несколько столетий, и большинство крестьянских прозвищных фамилий оформилось лишь к XVIII–XIX векам. Однако сама фамилия — живое напоминание о том, как метко и просто наши предки могли охарактеризовать человека одним словом.