Фамилия Бегайкин образована от прозвища Бегайка, в основе которого, скорее всего, лежит глагол «бегать». Вполне вероятно, что это прозвище указывало на особенности походки предка (быстрая, легкая). Кроме того, оно могло свидетельствовать и о манере поведения основателя рода (человек с таким прозвищем мог делать все на бегу). Возможно также, что прозвище Бегайка относится к так называемым «профессиональным» именованиям, содержащим указание на деятельность человека (он мог быть гонцом или посыльным). В переносном смысле глагол «бегать» означает «избегать, сторониться кого-либо», «поспешно отступать». В таком случае можно предположить, что родоначальник Бегайкиных был отшельником. Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Бегайка, со временем получил фамилию Бегайкин.