Фамилия Бегаев — одна из тех, чьё значение лежит на поверхности, но при ближайшем рассмотрении открывает несколько возможных историй. В её основе лежит прозвище Бегай, которое, скорее всего, характеризовало человека по его манере поведения или образу жизни. Самый прямой смысл — «быстроногий», «скоростной»: предок мог опережать других в беге, быть ловким и подвижным. Однако прозвище могло указывать и на противоположное качество — на торопливость, неусидчивость, привычку делать всё на бегу, небрежно. В народе такое прозвище нередко давали егозе или непоседе.

Не исключён и социальный подтекст. Прозвище Бегай могло закрепиться за человеком, чья работа была связана с постоянным движением, — гонцом, посыльным или скороходом. В доиндустриальной России такие люди были незаменимы: они доставляли вести, распоряжения и товары, преодолевая большие расстояния пешком. Если предок Бегаев служил гонцом, фамилия сохранила память о его профессии.

Словообразовательная модель проста: к основе на -ай (Бегай) добавился типичный русский суффикс принадлежности -ев, указывающий на «сына Бегая» или «человека из рода Бегая». Такая модель характерна для фамилий, возникших из прозвищ и мирских имён, — она широко распространена в центральной России и Поволжье.

Интересно, что фамилия Бегаев встречается и в среде кавказских народов, например у осетин и чеченцев. Там она может иметь иное происхождение: от тюркского или местного имени Бегай (возможные значения — «князь», «господин» или «крепкий»). Однако для русских носителей наиболее вероятна версия с прозвищем от глагола «бегать». Спорных гипотез здесь немного — обе версии (поведенческая и профессиональная) логичны и не противоречат друг другу.

Таким образом, фамилия Бегаев либо описывает характер предка (быстрый или суетливый), либо указывает на его занятие (гонца). В любом случае, она не связана с географией или сословной принадлежностью, а рассказывает о человеке и его повседневной жизни.