Фамилия Бегаев образована от прозвища Бегай. Человек, его получивший, вероятно, отличался скоростными качествами. Оно может свидетельствовать и о некоторой неусидчивости: человек с таким прозвищем мог делать все на бегу, неаккуратно. Возможно также, что прозвище Бегай имеет отношение к профессии предка: он мог быть гонцом, посыльным. Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Бегай, со временем получил фамилию Бегаев.