Фамилия Бегашев образована от прозвища Бегаш. Самая прямая и правдоподобная версия связывает его с ингушским словом «бегаш» — «шутка». В таком случае прозвище дали человеку веселому, жизнерадостному, любителю посмеяться и пошутить. Эта гипотеза объясняет и географию фамилии: Бегашевы — нередкая фамилия в Ингушетии и соседних республиках Северного Кавказа, что указывает на её местные, а не пришлые корни.

Есть и вторая версия, по которой прозвище Бегаш связано с русским глаголом «бегать». Сторонники этой гипотезы считают, что Бегашом называли скоростного, подвижного человека, возможно, гонца или посыльного. Однако здесь есть слабое место: суффикс -аш в русской прозвищной модели встречается редко. Для тюркских языков, где -аш — обычный уменьшительный или ласкательный суффикс, такая основа была бы естественна, но для исконно русского прозвища типичнее формы вроде Бегун, Беглец. Поэтому версия с ингушским корнем выглядит убедительнее: она объясняет и лексику, и суффикс, и регион бытования фамилии.

Разбираем словообразовательную модель. Фамилия Бегашев построена по стандартной русской патронимической схеме: к основе прозвища Бегаш добавляется суффикс принадлежности -ев (фонетический вариант -ов после шипящих). Таким образом, Бегашев буквально означает «сын Бегаша» или «потомок Бегаша». Это типичная модель для фамилий, возникших в XV–XVII веках, когда прозвища отца закреплялись за детьми как наследственные.

В ономастических справочниках фамилия не получила широкого освещения, однако её разбор подтверждает: перед нами яркий пример того, как местное слово (ингушское «бегаш») через прозвище превратилось в русскую по форме фамилию. Подобных случаев на Кавказе много — например, фамилии Дудаев, Алхазов, где тюркская или кавказская основа сочетается с русским суффиксом. Бегашев стоит в этом же ряду.