Фамилия Бегашевы чаще всего образована от прозвища Бегаш, и в её основе лежат как минимум две разные языковые традиции. Самая вероятная версия выводит прозвище из ингушского языка, где слово «бегаш» означает «шутка». В этом случае прозвище Бегаш получал веселый, жизнерадостный человек, склонный к остротам и незлобивым розыгрышам. Эта версия объясняет и географию фамилии: корни Бегашевых, скорее всего, ведут на Северный Кавказ, в среду ингушских и чеченских обществ, где подобные прозвища были обычны.

Вторая, тоже правдоподобная, гипотеза связывает фамилию с русским глаголом «бегать». Здесь возможны разные оттенки значения. Бегашом могли прозвать скорохода, отличного бегуна или гонца, чья работа требовала быстроты. Но прозвище могло указывать и на характер: неусидчивого, суетливого человека, который всё делал на бегу и неаккуратно. Примечательно, что обе версии — и кавказская, и русская — не исключают друг друга, а показывают, как похожие звучащие слова могли дать жизнь одной фамилии в разных регионах.

Обратим внимание на суффикс. Фамилия Бегашев образована по стандартной русской модели: основа прозвища (Бегаш) плюс притяжательный суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Бегаша). Это типичная фамилия-патроним, которая закрепилась за потомками человека с прозвищем Бегаш. В написании с окончанием на -ев, а не на -ов, нет ничего редкого: суффикс -ев присоединяется к основам на мягкий согласный или шипящий (как в слове Бегаш).

Точное время возникновения фамилии установить сложно — процесс оформления фамилий у разных сословий и в разных частях страны растянулся на несколько столетий. Однако можно уверенно сказать, что в основе фамилии Бегашевы лежит либо меткое прозвище по характеру, либо указание на род занятий, либо заимствованное слово, которое прижилось в русской ономастике.