Фамилия Бегашев образована от личного прозвища и относится к распространенному типу русских фамилий. Фамилия Бегашев образована от прозвища Бегаш. Скорее всего, оно ведет свое начало от ингушского слова «бегаш», которое в переводе на русский язык означает «шутка». Вполне вероятно, что прозвище Бегаш носил веселый, жизнерадостный человек. Согласно другой гипотезе, прозвище Бегаш связано с русским глаголом «бегать». В таком случае Бегашом могли называть человека, отличавшегося скоростными качествами. Не исключено, что это прозвище свидетельствовало и о некоторой неусидчивости: человек с таким прозвищем мог делать все на бегу, неаккуратно. Возможно также, что прозвище Бегаш имеет отношение к профессии предка: он мог быть гонцом, посыльным. Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Бегаш, со временем получил фамилию Бегашев. О точном месте и времени возникновения фамилии Бегашев в настоящее время говорить сложно, поскольку процесс формирования фамилий был достаточно длительным. Тем не менее, фамилия Бегашев представляет собой замечательный памятник славянской письменности и культуры.