Фамилия Бегашевский — типичный пример «географической» фамилии, которую получил человек, переехавший из одной местности в другую. Её основа — название деревни Бегашево в Республике Татарстан. Переселенец, покинувший родное село, становился Бегашевским, то есть «выходцем из Бегашево». Суффикс -ский в таких фамилиях указывает на принадлежность к месту, а не на род занятий или личное качество.

Сам топоним Бегашево, скорее всего, восходит к тюркскому слову «бегаш» — «маленький бык». Это распространённая модель для названий поселений в Поволжье: деревню могли назвать по прозвищу или имени первопоселенца, связанному с животным. Вторая версия — от ингушского «бегаш» («шутка») — выглядит менее правдоподобной. Ингушский язык не характерен для топонимики Татарстана, а прозвище Бегаш в значении «шутник» могло бы дать фамилию Бегашев (с суффиксом -ев), но не Бегашевский, который привязан к конкретному населённому пункту.

Таким образом, наиболее вероятно, что предок носителя фамилии жил в татарской деревне Бегашево или рядом с ней. Фамилия редкая и узколокальная: она не встречается в массовых списках русских фамилий, а её носители, вероятно, сосредоточены в Татарстане и соседних регионах.