Фамилия Бегашевская — одна из тех, что сразу выдают своё географическое происхождение. Суффикс -ск- указывает на то, что она образована от названия места: скорее всего, от села, деревни или урочища с именем Бегашево, Бегаш или Бегашевка. Такие фамилии в старину получали либо помещики, владевшие этим селом, либо, что чаще, крестьяне, переселившиеся оттуда и записанные по месту выхода. В отличие от фамилий на -ов и -ин, которые считались «низовыми», «княжеское» окончание -ский нередко встречалось и у духовенства, и у однодворцев, и у мещан, так что социальный статус предков по одной фамилии не угадать.

Корень «Бегаш» — тюркского происхождения. В татарском, башкирском, казахском языках слово «бегаш» (или «бигаш») имело значение «белый камень», «известняк». Встречается оно и как личное имя: Бегаш — древнее тюркское мужское имя, которое давали детям с пожеланием крепости и долголетия (каменная твёрдость). Так что основа фамилии могла быть как прозвищем по внешности или характеру («крепкий, как камень»), так и прямым именем.

Географически фамилия Бегашевская редкая и, по данным современных справочников, встречается в основном на юге России и в Поволжье, что косвенно подтверждает тюркский след. В XIX веке несколько деревень с названием Бегашево существовало на территории бывшей Казанской губернии и в Приуралье. Если предки были переселенцами из таких мест, то фамилия могла закрепиться за ними уже в новом селе, куда они перебрались.

Интересно, что в фамилии сохранилась женская форма прилагательного — «Бегашевская», а не «Бегашевский». В русской традиции такие фамилии не склонялись по мужскому и женскому роду, если принадлежали одному роду. Однако в документах XVIII–XIX веков встречаются обе формы: мужчины записывались как Бегашевские, женщины — как Бегашевская. Со временем вариант на -ая мог закрепиться за всей семьёй из-за ошибки писаря или местного говора.

В целом, фамилия Бегашевская — типичный пример «географической» фамилии с тюркской основой, которая рассказывает о месте, откуда родом её первые носители, и о том, что предки, скорее всего, жили в зоне активных русско-татарских контактов.