Фамилия Бегашевский происходит от древнейшей формы славянских фамильных прозвищ, образованных от географического названия местности, выходцем из которой являлся один из предков. Фамилия Бегашевский образована от названия деревни Бегашево, расположенной в Республике Татарстан. Сам топоним, скорее всего, восходит к тюркскому слову «бегаш», которое переводится на русский язык как «маленький бык». Вполне вероятно, что предок Бегашевских родился и жил в этом населенном пункте. Согласно другой, менее правдоподобной версии, фамилия восходит к прозвищу Бегаш, которое ведет свое начало от ингушского слова «бегаш», то есть «шутка». В таком случае можно предположить, что прозвище Бегаш носил веселый, жизнерадостный человек. О точном месте и времени возникновения фамилии Бегашевский в настоящее время говорить сложно, поскольку процесс формирования фамилий был достаточно длительным. Тем не менее, фамилия Бегашевский представляет собой замечательный памятник славянской письменности и культуры.