Фамилия Бегашевские (в исходной форме Бегашевский) — типичный пример «географической» фамилии, которую получил человек, переселившийся из деревни или села с названием Бегашево. Такая модель образования (название места + суффикс -ский) была особенно распространена среди дворянства и духовенства в XVII–XIX веках, но встречалась и у других сословий, если человек хотел подчеркнуть свою связь с родовым гнездом.

Деревня Бегашево существует в Республике Татарстан, и именно её чаще всего связывают с происхождением фамилии. Сам топоним, скорее всего, восходит к тюркскому слову «бегаш» — «маленький бык» или «телёнок». Это логично: в Поволжье, где веками жили рядом татары и русские, названия поселений нередко брали из местных тюркских наречий. Выходец из Бегашева становился Бегашевским, то есть «тем, кто из Бегашево».

Существует и альтернативная версия, но она заметно слабее. Согласно ей, фамилия могла произойти от прозвища Бегаш, которое связывают с ингушским словом «бегаш» — «шутка». Якобы так называли весёлого человека. Однако против этой гипотезы говорит сам суффикс -ский: такие фамилии почти всегда указывают на местность, а не на личное прозвище. Прозвища чаще превращались в фамилии через суффиксы -ов/-ев или -ин (Бегашов, Бегашин). Поэтому версия с «маленьким быком» и деревней Бегашево выглядит гораздо убедительнее.

О точном времени появления фамилии Бегашевский судить трудно: процесс закрепления фамилий у крестьян и мещан растянулся до конца XIX века. Однако сама форма на -ский выдаёт в её носителе человека, для которого было важно обозначить своё происхождение — возможно, священника, купца или дворянина, владевшего землёй в тех краях.