Фамилия Бегаевы, судя по всему, образована от прозвища Бегай. Человек с таким прозвищем мог отличаться скоростью — бегать быстрее других, быть ловким и подвижным. Но есть и другая сторона: прозвище могло указывать на торопливость и неаккуратность, когда всё делается «на бегу», второпях. В третьем варианте Бегаем могли назвать гонца или посыльного, для которого бег был ремеслом.

Модель образования простая и распространённая: к основе Бегай добавили суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Бегая). Такая модель — одна из самых частых в русских фамилиях, но здесь есть одна особенность: основа оканчивается на -ай, что нередко встречается в прозвищах, образованных от глагольных форм повелительного наклонения (сравните: Нечай, Постой, Спеши). Бегай — не исключение, это прямое указание на действие.

В написании фамилии возможны варианты: через «о» (Бегаев) или через «а» (Бигаев), но в основной форме закрепилась именно «Бегаевы». Географически фамилия встречается в разных регионах, но чаще — в центральной России и Поволжье, что типично для прозвищ, связанных с бытовыми чертами характера или занятиями.

Точное время возникновения фамилии установить сложно: процесс перехода прозвищ в фамилии длился несколько столетий, и Бегаевы могли появиться в разное время в разных местах независимо друг от друга. Но сама основа — прозвище Бегай — это живое свидетельство того, как в языке закреплялись яркие черты человека, его манеры или работа.