Фамилия Бегачев звучит так, словно в ней спрятался глагол «бегать», но лингвисты предлагают копнуть глубже. Самая вероятная версия уводит нас в тюркские степи: имя Бегач — это фонетический вариант имени Бигач, что с древнетюркского переводится как «сын хана». Такое имя давали ребенку, подчеркивая его знатное происхождение или желая ему высокой судьбы. Однако на русской почве это имя быстро обросло бытовыми ассоциациями, и его могли переосмыслить как прозвище Бегач — для человека быстрого, проворного, возможно, гонца или посыльного.

Суффикс -ев указывает на типичную русскую модель образования: «чей?» — Бегачев, то есть сын или потомок Бегача. Фамилия закрепилась в разных уголках страны, и это хорошо видно по записям в Книгах памяти. В Челябинской области упоминается Михаил Яковлевич Бегачев 1895 года рождения из села Великий Овраг Лукояновского района Горьковской области. В Калининской области — Николай Васильевич Бегачев 1911 года из деревни Манистрово Куньинского района. На Ставрополье — Павел Петрович Бегачев 1916 года из села Камбулат.

Есть и третья, географическая версия: на Украине, в Черниговской области, существует село Бегач. В таком случае фамилия могла возникнуть как прозвище выходца оттуда — Бегач, то есть «бегачевский», «из Бегача». Какая из версий верна для конкретной семьи, сказать трудно — возможно, все три сыграли свою роль в разных ветвях рода.