Фамилия Бегаева — типичный пример русской фамилии, образованной от прозвища с помощью суффикса -ев. В основе лежит прозвище Бегай. Такая модель словообразования (основа глагола в повелительном наклонении + суффикс принадлежности) была распространена в XVI–XVII веках, особенно в среде служилых людей и крестьянства.

Прозвище Бегай могли дать человеку по двум основным причинам. Первая — физическая: предок действительно отличался быстротой, резвостью, мог быть хорошим бегуном. Вторая — поведенческая: прозвище могло закрепиться за тем, кто всё делал наспех, «на бегу», работал неаккуратно и суетливо. Такие прозвища нередко давали с лёгкой иронией, но без злого умысла.

Есть и третья, более конкретная версия, связанная с родом занятий. Бегаем могли называть гонца, посыльного или скорохода — человека, чья служба требовала постоянного передвижения. В допетровской Руси рассыльные и вестовые были важной частью государственного аппарата, и их прозвища легко переходили в фамилии.

В отличие от многих фамилий на -ин или -ов, где основа — имя или профессия, прозвище Бегай напрямую отсылает к действию. Это сближает фамилию с такими же «динамичными» фамилиями, как Бегалов, Беглов или Бегунов. Однако суффикс -ев указывает, что исходное прозвище было именно Бегай, а не Бегало или Бегун.

Географически фамилия Бегаева встречается в разных регионах России, но чаще фиксируется в Поволжье и на юге страны. В некоторых случаях она может иметь тюркские корни, если исходное имя или прозвище восходит к тюркскому «бег» (бек) — князь, господин. Однако для фамилии Бегаева эта версия менее вероятна: русская модель образования через суффикс -ев от основы «Бегай» выглядит убедительнее и не требует привлечения иноязычных параллелей.