Фамилия Беганова — женская форма фамилии Беганов, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Типичный русский патронимический суффикс -ов указывает на происхождение от отца: Беганов — сын Бегана. Сама основа «Беган» — это либо прозвище, либо производная форма личного имени.

Самый прямой путь к значению — диалектный глагол «бегать» или «беганье» (быстрое движение). Прозвищем Беган могли наградить непоседливого, шустрого человека, который ни минуты не сидел на месте. В русских говорах слово «беган» фиксировалось именно в значении «непоседа» или «торопыга». Версия простая и логичная: предок носителя фамилии получил уличное прозвище за свой характер или манеру поведения.

Существует и менее очевидный, но вполне возможный вариант. В тюркских языках, особенно в татарском и башкирском, есть имя Беган (Бик-хан, от «бек» — князь). В этом случае фамилия могла возникнуть у крещёных татар или в среде, где смешивались славянские и тюркские имена. Однако для фамилии с русским суффиксом -ов первая версия — про прозвище от «бегать» — выглядит убедительнее и чаще встречается в ономастической литературе.

Географически фамилия Беганов (и, соответственно, Беганова) встречается в разных регионах России, но заметна в Поволжье и на Урале — как раз в зоне активных русско-тюркских контактов. Это не позволяет полностью отбросить тюркскую версию. Возможно, в одних случаях фамилия образована от прозвища, а в других — от имени, и оба варианта имеют право на существование.

Социальный контекст прост: фамилия недворянская, скорее всего, её носили крестьяне или посадские люди. В документах XVII–XVIII веков она могла писаться как Беганов, а в XIX веке закрепилась в современном виде.