Фамилия Беганская — вариант женского рода, но в основе лежит прозвище Беган, которое дали мужчине. Слово «беган» напрямую связано с глаголом «бегать», и тут открывается несколько возможных путей происхождения. Самая прямая версия — профессиональная: Беганом могли называть гонца, посыльного или скорохода, чья работа требовала постоянного передвижения. В эпоху, когда новости передавались ногами, такой человек был на виду.

Вторая, не менее реалистичная версия — прозвище по характеру. Беганом в народе могли окрестить непоседу, суетливого человека, который всё делал второпях, «на бегу», не мог усидеть на месте. В этом случае прозвище отражало манеру поведения, а не профессию.

Менее вероятно, что прозвище дали за спортивные успехи в беге — в крестьянской среде состязания не были главным поводом для закрепления родового имени, хотя полностью исключать это нельзя.

Фамилия образована по типичной восточнославянской модели с суффиксом -ск-, который изначально указывал на принадлежность к местности или роду. В данном случае он добавился к основе Беган, но не для обозначения выходца из села (такого топонима не зафиксировано), а для оформления фамилии по образцу дворянских или шляхетских фамилий на -ский/-цкий. Впрочем, в XIX веке эта модель стала массовой и для крестьян, особенно на западе и юге Российской империи.

Таким образом, носительница фамилии Беганская — потомок человека, которого окружающие знали как Бегана, то есть либо скорохода-посыльного, либо просто очень подвижного и торопливого человека.