Фамилия Беганцев — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, сохранилось почти без изменений, а суффикс указывает на конкретную модель образования. Основа здесь — «беганец». В говорах так называли беглого человека, беглеца, того, кто сбежал от службы, от помещика или от наказания. Слово «беганец» фиксируется в северных и сибирских диалектах, где беглые крестьяне и каторжники осваивали новые земли. Фамилия могла закрепиться за человеком, который однажды «побегал» и остался с этим прозвищем навсегда.

Суффикс -ев (а не -ов) — показатель того, что основа оканчивалась на мягкий согласный или «ц». В фамилиях на -ев часто скрываются прозвища на -ец: Беганец → Беганцев. Такая модель типична для фамилий, образованных от прозвищ, а не от крестильных имён. Если бы в основе было имя Беган (от глагола «бегать»), мы бы скорее получили Беганов. Форма «Беганцев» прямо указывает на прозвище с суффиксом -ец, что в русской ономастике встречается реже, чем фамилии на -ов/-ин.

Географически фамилия тяготеет к югу России и Поволжью, где слово «беганец» было в ходу. В документах XVIII–XIX веков Беганцевы встречаются среди однодворцев и государственных крестьян — сословий, которые часто пополнялись за счёт беглых, осевших на окраинах. Сам прозвищный смысл со временем стёрся: потомки уже не связывали фамилию с побегом, а воспринимали её как родовое имя.

Вторая, менее вероятная версия — от тюркского имени Беган (или Биган), что значит «князь» или «господин». Но тогда фамилия писалась бы Беганов или Биганов, а суффикс -цев тут необъясним. Поэтому основная гипотеза — диалектное прозвище беглеца.

Сравните с однокоренными: Беганов, Беглов, Бегунков. Беганцев стоит особняком — он не про скорость и не про профессию, а про конкретный жизненный эпизод человека, который в своё время «дал тягу».