Фамилия Беганин — редкий случай, когда суффикс -ин присоединился не к типичному прозвищу на -а/-я (типа «Беганя»), а к основе, которая сама по себе могла быть глагольной формой или кратким прилагательным. В русской ономастике фамилии на -ин обычно образуются от слов женского рода с окончанием -а: «Бородин» (от борода), «Птицын» (от птица). Но Беганин явно выбивается из этого ряда — здесь мы имеем дело с основой «беган-», а не «бегань-».

Самая вероятная версия: фамилия произошла от прозвища Бегана или Беганя. Такое прозвище могли дать человеку непоседливому, суетливому, постоянно куда-то спешащему — от глагола «бегать». В русских говорах слово «беганя» фиксировалось в значении «беготня, суета», а в переносном смысле так могли назвать и самого человека. Суффикс -ин в этом случае работает по правилу: Беганя → Беганин, то есть «сын Бегани». Модель типичная для северных и центральных областей России, где фамилии на -ин особенно распространены.

Есть и менее очевидный вариант. В южнорусских и украинских говорах «беганин» могло быть формой родительного падежа множественного числа от «бегане» — так называли беглых крестьян или бродяг. В этом случае фамилия могла закрепиться за человеком, который происходил из семьи беглых, или за тем, кто сам был «беганцем». Но эта версия спорная: обычно такие прозвища давались в форме «Беганец» или «Беглый», а не через окончание -ин.

Обратите внимание на ударение. В фамилии Беганин оно почти наверняка падает на второй слог: Бега́нин. Если бы основа была от слова «бег» (корень бег-), фамилия звучала бы как Бе́гин или Бе́гов. Ударение на -а- подтверждает, что в основе лежит именно глагольная форма с суффиксом -ан-/-ян-.

Фамилия встречается крайне редко. По данным открытых источников, основные очаги — Нижегородская область и Удмуртия, что косвенно указывает на северное происхождение. В дореволюционных переписях Беганины могли быть крестьянами или мещанами — фамилия явно не дворянская, без характерных для знати суффиксов -ский или -ов. Никаких известных исторических деятелей с такой фамилией не зафиксировано, что типично для прозвищных фамилий, которые остались в локальной среде.