Фамилия Бегановская звучит так, будто её обладательница (или предок) родом из места с названием Беганово или Бегановка. Это типичная модель для фамилий на -ский/-ская: такую форму давали дворянам по названию поместья или выходцам из сёл и деревень. Если перед нами женская форма, то мужской вариант — Бегановский.

Корень «Беган» неочевиден. Самое простое объяснение — от глагола «бегать», то есть прозвище Беган могли дать человеку быстрому, непоседливому или тому, кто много ходил пешком. Однако в славянской ономастике фамилии с таким корнем нередко связывают с тюркским или татарским влиянием. В татарском языке «бегән» (или «бәгән») означает «сено» или «стог сена». Прозвище Беган мог получить сенокосец, владелец покоса или просто человек, живший у большого стога.

Версия с географической привязкой также состоятельна. На карте России и Украины встречаются урочища и бывшие хутора с названием Беганово (например, в бывшей Витебской губернии или на Смоленщине). Переселенцы из таких мест, получая фамилию при переписи, становились Бегановскими — то есть «те, кто из Беганова». Суффикс -ск- указывает на принадлежность к местности, что в XIX веке было характерно для духовенства и мелкопоместного дворянства, но позже распространилось и среди крестьян, особенно после отмены крепостного права.

Интересно, что фамилия встречается преимущественно в западных областях России и в Беларуси, что поддерживает версию о польском или западнорусском происхождении: именно там фамилии на -ский особенно часты. Спор о том, от какого именно слова произошёл корень — славянского «бег» или тюркского «сено» — остаётся открытым, но обе версии логичны и не противоречат друг другу: прозвище могло родиться в двуязычной среде.