Фамилия Бегасова — женская форма, а её мужской вариант — Бегасов. Сразу бросается в глаза необычная основа: в русских фамилиях корень «Бегас-» встречается редко. Чтобы понять её происхождение, нужно разобраться в двух вещах: откуда взялось слово и какой суффикс его оформил.

Начнём с суффикса. Окончание -ов указывает на классическую русскую патронимическую модель: «чей?» — «Бегасов», то есть сын или потомок человека по прозвищу или имени Бегас. Такая модель была самой распространённой в центральной России и на севере, особенно среди крестьян и мещан после отмены крепостного права, когда фамилии массово закреплялись через форму притяжательного прилагательного.

Теперь о корне. Тут есть две основные версии, и обе имеют право на жизнь. Первая: прозвище Бегас могло быть связано с диалектным словом «бегас» — так в некоторых говорах (особенно рязанских и тамбовских) называли непоседливого, суетливого человека, бегуна. Человек, который «бегает» без дела или, наоборот, быстро всё делает, мог получить такое прозвище. Вторая версия — тюркская. В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) есть слово «бегас» или «бигас», означающее «крепкий», «сильный», «могучий». Учитывая, что на юге и юго-востоке России (в Поволжье, Приуралье) русские фамилии часто вбирали тюркские корни, эта версия не менее правдоподобна. Прозвище Бегас мог получить сильный или влиятельный человек, а затем оно закрепилось за его потомками.

Географически фамилия Бегасовы встречается не повсеместно, а тяготеет к регионам, где исторически смешивались славянское и тюркское население: Пензенская, Саратовская, Самарская области, а также Башкортостан. Встречается она и на Урале. Это косвенно подтверждает тюркскую версию, хотя полностью исключать местные русские говоры нельзя.

Социальный контекст: судя по простоте модели (без дворянских приставок «-ский» или «-ин»), фамилия относится к крестьянской или мещанской среде. Её носители в XIX веке, скорее всего, были государственными или помещичьими крестьянами, реже — однодворцами (особенно в южных губерниях). Сословной элиты среди Бегасовых не видно, что типично для фамилий, образованных от прозвищ, а не от календарных имён.

В итоге: фамилия Бегасова происходит от прозвища Бегас, которое могло означать либо непоседу-бегуна, либо, что вероятнее с учётом географии, крепкого, сильного человека (из тюркского). Её носители — потомки простых людей, живших в основном на юго-востоке европейской России.