Фамилия Бегак — яркий пример того, как прозвище, образованное от глагола «бегать», закрепилось в качестве родового имени. В основе лежит не столько скорость как таковая, сколько характерная черта человека: быстрая, легкая походка или привычка всё делать на бегу, торопливо. Скорее всего, прозвище дали человеку подвижному, непоседливому, который не ходил, а бегал.

Модель образования проста: корень «бег-» плюс суффикс «-ак». В русском языке такие суффиксы часто указывают на носителя действия или свойства (ср. «гуляка», «зевáка», «кривляка»). Бегак — тот, кто бегает. По этой же модели возникли и другие фамилии, например, Бегунов, но «Бегак» — более редкий вариант, сохранивший архаичную форму.

Есть и другая, менее очевидная версия. Глагол «бегать» в переносном смысле означал «избегать», «сторониться», «поспешно отступать». В этом случае прозвище Бегак могло закрепиться за отшельником или человеком нелюдимым, который «бегал» от людей и общества. Впрочем, эта гипотеза слабее: для прозвищ, образованных от переносных значений, обычно требуется дополнительный контекст, которого мы не знаем.

Не исключено и профессиональное происхождение. Бегаком могли назвать гонца, посыльного или скорохода — человека, чья работа была связана с постоянным передвижением и беготней. В допетровской Руси такие люди были на виду, и прозвище легко могло стать фамильным.

Фамилия не получила широкого географического распространения, что говорит о её локальном характере. Встречается она преимущественно в южнорусских и украинских говорах, где суффикс «-ак» особенно активен. Носители фамилии Бегак — это потомки, скорее всего, одного человека, получившего прозвище за манеру двигаться или род занятий, а не за характер.