Фамилия Бегагаев — редкая и с точки зрения словообразования, и по географии. Её стоит разобрать не с корня, а с суффикса: перед нами модель на -ев, а не на -ов. В русских фамилиях суффикс -ев обычно присоединяли к основам, оканчивающимся на мягкий согласный или на -й. Здесь основа — Бегагай. Значит, фамилию образовали от прозвища или имени Бегагай, а не напрямую от тюркского глагола.

Самая правдоподобная версия связывает основу с тюркским словом «бегага» (или близким по звучанию), которое могло означать «старший брат» или «уважаемый родственник» в некоторых диалектах. В таком случае прозвище Бегагай — это форма со значением «тот, кого называют бегагой», то есть уважаемый человек, старейшина. Менее вероятна, но возможна связь с диалектным «бег» (князь, господин) и аффиксом принадлежности — тогда прозвище могло означать «княжеский слуга» или «принадлежащий бегу», но для этого больше подошла бы форма Бегаев.

Фамилия почти наверняка имеет тюркские корни, скорее всего, кумыкские или ногайские. Встречается она преимущественно в Дагестане и среди кумыкского населения. В русских переписных книгах XVII–XVIII веков фамилия не фиксируется — это указывает на её относительно позднее закрепление в документах, уже после вхождения региона в состав Российской империи. Известных исторических деятелей с этой фамилией нет, что типично для локальных родовых прозвищ, которые не попали в дворянские родословные книги. Таким образом, предки носителя фамилии Бегагаев — скорее всего, тюркоязычные крестьяне или скотоводы, получившие прозвище по уважительному обращению к старшему в роду.