Фамилия Бегалаев — редкая и неочевидная для поверхностного взгляда. Чтобы понять её происхождение, нужно отбросить привычные русские корни и обратиться к тюркским языкам. Основа здесь — «бегал» (или «бекгал»), что в ряде тюркских наречий означает «пришлый», «переселенец» или «беглый» (от глагола «бежать», «уходить»). Прозвище Бегал могли дать человеку, который пришёл в эти места издалека, или тому, кто сменил место жительства при неясных обстоятельствах.

Фамилия образована по русской модели с суффиксом -ев, который присоединяется к основам на мягкий согласный или на -л. Форма Бегалаев — это притяжательное прилагательное, отвечающее на вопрос «чей?»: сын или потомок Бегала. Такая модель типична для фамилий, возникших в среде крещёных тюркских народов (татар, башкир, ногайцев) в XVI–XIX веках, когда к тюркскому прозвищу добавляли русский фамильный суффикс.

Встречается фамилия в Поволжье и на Урале, особенно среди татарских и башкирских родов. Ударение, скорее всего, падает на последний слог — Бегала́ев, хотя в разных говорах возможно смещение. Интересно, что однокоренные фамилии (Бегалов, Бегалин) встречаются чаще, а форма с суффиксом -аев — более редкая, что указывает на локальное бытование и, возможно, на устойчивый вариант прозвища.

Вторую, менее вероятную, версию связывают с арабским именем Багаутдин (сокращённо Багай) через диалектное оглушение «г» в «к» и дальнейшую перестройку. Но для фамилии Бегалаев эта гипотеза выглядит натянутой: проще предположить прямое прозвище из тюркского «бегал», чем сложную цепочку искажений. Поэтому основная версия — прозвище переселенца или беглеца, закрепившееся в качестве фамилии в татаро-башкирской среде.