Фамилия Бегалина — женская форма, а её мужской вариант — Бегалин. В русском языке фамилии на -ин образуются от основ, оканчивающихся на -а или -я. Раз фамилия заканчивается на -ин, значит, в её основе лежит слово или имя, которое в именительном падеже звучало как Бегала. Что это могло быть?

Скорее всего, перед нами тюркская фамилия, распространённая среди народов Поволжья, Урала и Средней Азии. Основа «бега» или «беге» восходит к тюркскому «бек» — «господин, князь, правитель». В татарском и башкирском языках есть имя Бегалий (Бигалий) — сложное имя, где первая часть означает «князь», а вторая — арабское «али» (высокий, возвышенный). Так что Бегалина могла образоваться от имени Бегала — разговорной, сокращённой формы от Бегалий.

Но есть и другая версия. В тюркских языках слово «бега» могло быть прозвищем. Например, в казахском «бега» означает «жеребёнок» (от года до двух лет). Прозвища по масти или возрасту скота — обычное дело в скотоводческих культурах. Человека могли назвать Бега за резвость, непоседливость или за внешнее сходство. Тогда Бегалина — буквально «дочка (или жена) Беги».

Географически фамилия чаще всего встречается у татар, башкир и казахов. В русских документах она фиксируется с XIX века, когда тюркские народы активно получали фамилии по отцу (патронимы). Интересно, что фамилия не получила русского суффикса -ов, а осталась с тюркским -ин, что указывает на прямое заимствование, без адаптации через русскую модель.

Таким образом, предки современных Бегалиных — люди, носившие имя или прозвище Бегала. Скорее всего, они были тюркского происхождения, жили в земледельческих или скотоводческих общинах, а фамилия закрепилась за ними как указание на родство с конкретным человеком — уважаемым старейшиной или просто заметным односельчанином.