Фамилия Бегеговских звучит как прилагательное во множественном числе родительного или предложного падежа — типичная модель для фамилий на -ских/-цких, характерных для польской шляхты, украинской старшины и северорусских крестьянских родов. Однако здесь есть особенность: суффикс -овск- указывает на то, что основа фамилии — не топоним на -ск (как в случае Зубовский → Зубовских), а личное имя или прозвище с добавлением патронимического -ов-. То есть Бегеговских — это «из рода Бегеговских», а те, в свою очередь, произошли от человека по прозвищу Бегег.

Корень Бегег- — тёмный и редкий. Скорее всего, это диалектное или искажённое слово. Можно предположить связь с тюркским бек (господин, князь) или бег (бег, правитель), но двойное -гег- нехарактерно для тюркских языков. Более правдоподобна версия, что это русифицированная форма финно-угорского или балтского прозвища: в коми-пермяцких говорах есть слово бег — «бегун», а в литовском bėgė — «беглец». Удвоение могло возникнуть при адаптации: Бегег — то же, что Бегун или Беглец. Такое прозвище давали либо быстроногому человеку, либо тому, кто часто менял место жительства или сбежал от повинностей.

Фамилия явно восточнославянская, но с западным суффиксом. Форма на -их (Бегеговских) — севернорусская или сибирская: такие фамилии массово встречаются в Архангельской, Вологодской, Вятской губерниях и у староверов, переселившихся в Сибирь. Если бы фамилия была польской, она звучала бы как Bęgiegiowski или Begiegowski и склонялась бы по-другому. Поэтому наиболее вероятно, что предки носителя фамилии — русские крестьяне или мещане из северных регионов, получившие фамилию по прозвищу родоначальника, которое со временем обросло типичным для тех мест окончанием.

В написании возможна вариативность: Бегеговских, Бегеговский, реже Бегеговской. Вариант с -их — самый редкий и указывает на то, что фамилия закрепилась в форме «чей?» — «из дома Бегеговских». Других однокоренных фамилий практически не встречается, что подтверждает её локальный и немногочисленный характер.