Фамилия Бегеговая — редкий случай, когда основа читается почти как звукоподражание, но на деле имеет чёткое тюркское происхождение. Разберём её по косточкам.

Ключ к фамилии — в корне «беге-». Он восходит к тюркскому «бек» или «бег» — титул знати, военачальника, правителя. В языках народов Кавказа и Поволжья (кумыкском, ногайском, карачаево-балкарском, татарском) слово «бег» (бий, бек) означало «князь», «господин», «владелец». Удвоение «г» и окончание «-овая» — результат русского грамматического оформления: суффикс -ов-/-ев- и окончание -ая указывают на принадлежность (чьих будете? — Бегеговых). Таким образом, Бегеговая — это женская форма от фамилии Бегегов (или Бегеговый), а та, в свою очередь, образована от прозвища Бегег.

Прозвище Бегег могло означать «сын бека» (бег+ег — уменьшительный или патронимический аффикс в некоторых тюркских диалектах) или «маленький бек». Встречается также версия, что основа связана с тюркским глаголом «бегемек» (становиться сильным, крепнуть), но она менее убедительна: титульная этимология для фамилий этого типа — основная.

Географически фамилия тяготеет к Северному Кавказу и Нижнему Поволжью — регионам, где веками жили тюркоязычные народы, а после вхождения в состав России их прозвища и имена фиксировались в русских метрических книгах с типичными русскими окончаниями. Встречается она и у терских казаков: некоторые казачьи роды имели тюркские корни, и фамилии вроде Бегегов, Бегеговая — тому подтверждение.

Интересная деталь: написание с двумя «г» (Бегег-, а не Бекег-) — это, скорее всего, фонетическая запись. В устной речи тюркское «к» перед гласной часто озвончается, и русские писцы записывали его на слух как «г». Так что предок носительницы фамилии был, вероятно, не заикой (как можно было бы подумать по созвучию), а потомком человека, носившего почётное прозвище, связанное с военной или родовой знатью.