Фамилия Бегулиев — редкая, её носителей немного, и сразу бросается в глаза необычная основа. В русской модели фамилий на -ов/-ев, -ин, -ский редко встречается корень «бег-» в таком виде. Чтобы понять происхождение, нужно отбросить суффикс -ев (который указывает на принадлежность: «чей?» — Бегулиев, то есть сын Бегулия) и разобраться с самим именем или прозвищем Бегулий.

Самая прямая версия — связь с глаголом «бегать». Но здесь не просто «бегун» или «беглец», а форма с уменьшительно-ласкательным или пренебрежительным суффиксом -ул- (как в словах «карапуз» — карапулик, «грязнуля»). Бегулий — это человек, который любит бегать, суетиться, или, возможно, тот, кого прозвали за быструю походку. В говорах слово «бегуля» означало и «беглянка», и «побегушка» — человек на побегушках, рассыльный. Фамилия могла закрепиться за расторопным работником или за тем, кто часто менял место жительства.

Вторая, не менее правдоподобная версия — тюркское происхождение. Фамилия Бегулиев с большой вероятностью образована от тюркского имени Бегули (варианты: Бег-ули, Бек-ули). В тюркских языках «бек/бег» — князь, господин, а «ули» — сын. То есть Бегули — «сын бека», «княжич». Это типичная модель сложения двух корней, распространённая у народов Кавказа, Поволжья и Средней Азии. Суффикс -ев здесь уже чисто русский, фамилию «обрусели» при оформлении документов. Такая версия объясняет и редкость фамилии в центральной России: её корни скорее в Азербайджане, Дагестане или среди татар, а не в новгородских или московских землях.

Спор между этими двумя версиями решается просто: если фамилия встречается в славянских областях (например, в украинских или южнорусских сёлах), вероятнее прозвище. Если же носители — выходцы с Кавказа или из Закавказья, то исходное имя Бегули (Бек-ули) — почти стопроцентный вариант. Словарь тюркских имен прямо указывает на Бегули как на вариант имени Бекгули.

Есть и третья, совсем маргинальная гипотеза — от имени Бегула, которое могло быть производным от церковного имени Егул (редкая форма от Игнатий или Георгий). Но она не выдерживает критики: переход «Егул → Бегул» требует наращения начального «б», что для русской ономастики нетипично.

Таким образом, предок носителя фамилии Бегулиев был либо расторопным человеком (прозвище Бегулий), либо сыном уважаемого человека — бека (имя Бегули). Выбор между версиями зависит от семейного предания и географии предков.