Фамилия Бегункова (в мужском варианте Бегунков) образована от прозвища Бегунок. Чтобы понять её происхождение, нужно разобраться, кто такой «бегун» в русском языке и народной культуре.

Самая очевидная версия — прозвище дали быстроногому человеку, отличному бегуну. В старину это качество ценилось: гонцы, скороходы, посыльные были нужны в любом хозяйстве или на государственной службе. Прозвище Бегунок могло закрепиться за тем, кто доставлял вести, работал рассыльным или просто славился резвостью.

Однако есть и вторая, менее известная, но исторически значимая версия. В XVIII–XIX веках в России существовала религиозная секта «бегунов» (или странников). Они отвергали официальную православную церковь, её обряды и государственные порядки, считая, что истинному христианину нужно «бежать» от мира, скрываться и странствовать. Секта зародилась после реформ Петра I, а при Екатерине II распространилась в Костромской, Ярославской и Владимирской губерниях. Позже бегунов встречали в Тверской, Вологодской губерниях, Западной Сибири, а в XIX веке — в губерниях Среднего Поволжья. Прозвище Бегунок мог получить человек, разделявший взгляды этой секты или примкнувший к странникам.

Словообразовательная модель проста: к основе «бегун» добавился уменьшительный суффикс «-ок», который мог указывать на молодость носителя прозвища или на его принадлежность к определённой группе людей. Затем фамильный суффикс «-ов» закрепил прозвище за родом: Бегунков — «сын Бегунка». Фамилия Бегункова — женская форма, указывающая на принадлежность к этому роду.

Какая из версий правдоподобнее? Обе имеют право на существование. В разных регионах и семьях прозвище могло возникнуть независимо по разным причинам. Точный ответ дала бы только семейная история: если предки были крестьянами-скороходами или, наоборот, в роду передавались рассказы о старообрядцах и странниках.