Фамилия Бегунковы — а точнее, её мужская форма Бегунков — образована от прозвища Бегунок. В основе лежит слово «бегун», но вот что именно стояло за этим прозвищем, сказать однозначно сложно: здесь возможны как минимум два совершенно разных объяснения.

Первое и самое очевидное: Бегунком называли человека, который быстро бегал. В крестьянском быту такое прозвище мог получить гонец, скороход или просто парень, славившийся резвостью на деревенских гуляньях. Прозвища по физическим качествам — одни из древнейших, и Бегунок в этом ряду стоит рядом с Быстрым, Лёгким или Скоком.

Второе объяснение уводит в историю русского раскола. После церковной реформы и особенно с XVIII века на Руси возникло множество старообрядческих толков. Один из самых радикальных — секта бегунов, или странников. Они отрицали государство, церковь, подати и паспорта, считая единственным спасением вечное скитание и уход от «мира антихриста». При Екатерине II бегуны обосновались в Костромской, Ярославской и Владимирской губерниях, позже — в Тверской, Вологодской и Западной Сибири, а в XIX веке добрались до Среднего Поволжья. Прозвище Бегунок в этой среде мог получить как последователь учения, так и человек, сочувствующий странникам или просто ведущий бродячий образ жизни.

Какая из версий верна для конкретной семьи — без генеалогического исследования не решить. Но важно, что суффикс -ок в прозвище Бегунок указывает на уменьшительную или «младшую» форму: так могли называть сына Бегуна или молодого человека, только начинавшего перенимать ремесло или веру.

Сама фамилия построена по стандартной патронимической модели: Бегунок → Бегунков. Суффикс -ов означает «сын Бегунка», то есть принадлежность к роду человека с этим прозвищем. В женском роде фамилия звучит как Бегункова, а во множественном — Бегунковы, если речь о всей семье.

Фамилия редкая и нечастотная. В дореволюционных источниках она встречается в основном в центральных губерниях России, особенно там, где были сильны старообрядческие общины. Если ваши предки носили эту фамилию и были родом из Костромской или Ярославской губернии, связь с бегунами-странниками становится очень вероятной. Если же родословная ведет из мест, где раскол не был распространен, скорее всего, прозвище дали за быстроту ног.