Фамилия Бегуновский образована по типичной для восточнославянских фамилий модели: основа плюс суффикс -ск-. Этот суффикс указывает на территориальную или сословную принадлежность. Чаще всего фамилии на -ский/-цкий получали дворяне по названию своих поместий, а также выходцы из духовенства (семинаристы, которым меняли фамилии «по местности»). Однако Бегуновский, скорее всего, не дворянского происхождения — в старых родословных книгах такая фамилия не встречается среди столбового дворянства. Вероятнее, что её носитель — выходец из села или деревни с названием вроде Бегуново, Бегунова или Бегунь.

Основа фамилии — прозвище Бегун. В Древней Руси так называли не просто скорохода. «Бегуном» могли прозвать гонца, скорохода, рассыльного — человека, который постоянно в разъездах и приказах. В некоторых говорах «бегун» означал «беглый», «бродяга», но для фамилии это значение маловероятно: прозвища с негативным оттенком редко становились основой для фамилий на -ский, которые обычно давали людям оседлым и уважаемым. Более правдоподобно, что Бегун — это мирское имя, данное ребёнку, который рано начал ходить и бегать. Такие имена-прозвища были обычны на Руси до введения обязательных церковных имён.

Самый редкий элемент здесь — суффикс -ов- в середине фамилии. Если бы фамилия происходила напрямую от названия деревни Бегуново, она звучала бы как Бегуновский. Но в фамилии Бегуновский явно видна двойная модель: сначала от прозвища Бегун образовали фамилию Бегунов (по отчеству: «чей?» — Бегунов), а уже потом, при переезде или в документах, её «облагородили» суффиксом -ский. Такое случалось в XIX веке: крестьяне или мещане, попадая в городскую среду, меняли окончание фамилии на более «панское». Таким образом, Бегуновский — это вторичная, «одворяненная» форма от более простой фамилии Бегунов.

Географически фамилия встречается в основном на западе России и в Беларуси — в Смоленской, Брянской, Псковской областях. Именно в этих краях была распространена модель переделки фамилий на -ов в -ский. Если ваш предок носил фамилию Бегуновский, то с высокой вероятностью он был выходцем из крестьян или мещан западных губерний Российской империи, а его далёкий предок — либо быстрый на ногу гонец, либо человек, получивший прозвище за резвость в детстве.