Фамилия Бегуненко образована от прозвища Бегун по распространённой в украинской ономастике модели с суффиксом -енко. Этот суффикс в XVI–XVII веках в Поднепровье и на Левобережной Украине означал «сын» или «потомок», то есть Бегуненко — буквально «сын Бегуна». Сейчас фамилия встречается в основном на юге России и в восточных областях Украины, что подтверждает её происхождение из казацкой среды, где такие патронимы были основной формой фамилий.

Прозвище Бегун многозначно. Самое прямое объяснение — от глагола «бегать»: предок мог обладать лёгкой, быстрой походкой или, наоборот, отличаться неусидчивостью, делая всё на бегу, второпях. Но есть и другая версия: в старину бегунами называли гонцов и посыльных, а также беглых крестьян или работников, уходивших от хозяина. В словаре В. Даля «бегун» — это и «скороход», и «беглый». Какая из версий верна для конкретной семьи, сегодня сказать трудно, но ясно, что прозвище дали человеку подвижному или связанному с быстрым передвижением.

Интересно, что фамилия Бегуненко не единственная в этом гнезде. Однокоренные Бегунов, Бегунков, Бегун, Бегунец образованы от того же корня, но разными суффиксами. Бегуненко выделяется именно украинским окончанием, которое указывает на происхождение рода с территорий, входивших в Речь Посполитую или Гетманщину. В документах XVIII–XIX веков фамилия могла писаться и через «и» — Бегуненко, и через «ы» — Бегуненко, но вариант с «е» закрепился как основной.

В отличие от многих фамилий, образованных от церковных имён, Бегуненко — чисто прозвищная, мирская. Она не несёт религиозного подтекста и говорит скорее о бытовой характеристике человека. Сейчас носители фамилии живут в Краснодарском крае, Ростовской области, а также в Харьковской и Днепропетровской областях Украины.