Фамилия Бегунец образована от прозвища, но не от слова «бегун» в привычном значении. В её основе лежит профессиональный термин «бегунец» — так в строительном деле называли тип кирпичной кладки. Это декоративный пояс на стене, где кирпичи уложены под углом, образуя ряд треугольных углублений, обращённых вершинами то вверх, то вниз. Приём был распространён в древнерусском зодчестве, особенно во владимиро-суздальской школе XII–XIII веков.

Прозвище Бегунец, скорее всего, получил мастер-каменщик, который специализировался на таком узоре. В те времена строительные артели были узкопрофессиональными, и имя человека часто связывали с его ремесленной специальностью. Так что основатель рода Бегунец, вероятно, не бегал, а клал стены — и делал это настолько искусно, что прозвище закрепилось за ним и перешло к потомкам.

Словообразовательная модель фамилии прозрачна: суффикс -ец указывает на лицо по действию или признаку. В русских фамилиях этот суффикс встречается реже, чем -ов или -ин, и чаще закрепляется в южных и западных регионах, а также у носителей украинского и белорусского происхождения. Сравните: Кузнец, Ткач, Стрелец — все они образованы по тому же принципу «человек, связанный с тем, что обозначено корнем».

В отличие от фамилий на -ов (Бегунов), которые типичны для северной и центральной России, форма Бегунец тяготеет к западнорусским землям. Встречается она нечасто, но стабильно — в основном в Беларуси, на Смоленщине и в Брянской области. Если искать однокоренные варианты, то Бегунов — это «сын бегуна» (от прозвища быстрого человека), а Бегунец — сам носитель профессии. Смысл разный, и путать их не стоит.