Фамилия Бегунц — редкий пример того, как прозвище по профессии закрепилось в форме, нехарактерной для русского языка. В её основе лежит слово «бегунец», но не в значении «тот, кто бегает», а как строительный термин. Бегунцом в архитектуре называли особый тип кирпичной кладки: декоративный пояс на стене, где кирпичи уложены под углом и образуют ряд треугольных углублений, направленных вершинами то вверх, то вниз. Такой приём часто использовали в древнерусском зодчестве, особенно во владимиро-суздальской школе.

Прозвище Бегунец, скорее всего, дали мастеру, который специализировался именно на этой кладке. Фамилия сохранила исходную форму прозвища без типичных русских суффиксов принадлежности -ов или -ин, что сразу обращает на себя внимание. Обычно прозвища на -ец (кузнец, гонец, творец) при переходе в фамилию обзаводились патронимическим окончанием: Кузнецов, Гонцов. Бегунц же застыла в первоначальном виде — так бывает, если прозвище было распространено в среде, где фамилии складывались поздно или под влиянием других языковых традиций.

Вероятнее всего, фамилия имеет южнорусские или украинские корни: в этих регионах прозвища без суффиксов встречаются чаще. Там же, на юге, строительное ремесло было хорошо развито, а кирпичные храмы и крепости требовали умелых каменщиков. Таким образом, первые Бегунцы — не бегуны и не скороходы, а мастера, оставившие след в архитектуре: их кладку можно увидеть на старых стенах, где треугольные пояса до сих пор служат украшением.