Фамилия Бегунцова — женская форма, мужской вариант — Бегунцов. В основе лежит не имя, не ремесло, а прозвище или уличное имя Бегунец. Суффикс -ов- типичен для русских фамилий, образованных от прозвищ на -ец: Бегунец → Бегунцов. Такая модель встречается реже, чем, скажем, -ин или -ов от основ на согласный, но она устойчива в северных и центральных губерниях.

Прозвище Бегунец могло означать человека быстрого, проворного, бегуна. Однако в русских говорах у слова «бегунец» было и более конкретное значение — так называли беглого крестьянина или каторжника, скрывающегося от властей. В крепостной России беглые составляли заметную часть населения, и прозвища вроде Бегунец, Беглец, Бегун были нередки. Они фиксировали не столько физическую скорость, сколько социальный статус: человек, ушедший от хозяина или от службы.

Второй, менее вероятный вариант — связь с диалектным «бегунка» (вид повозки или саней) или с названием ремесла: бегунцами в некоторых областях называли бродячих торговцев. Но эта версия спорная: слово «бегунец» в значении «торговец» почти не встречается в письменных источниках.

Географически фамилия Бегунцовы встречается в основном в центральной России — в Тверской, Ярославской, Костромской областях. Это зона бывшего крепостного права, где беглые крестьяне были обычным явлением. Встречается и в казачьих областях — на Дону и Кубани, но там фамилия могла появиться позже, с переселенцами.

Сословно фамилия почти наверняка крестьянская: прозвища с яркой бытовой окраской редко переходили в дворянские роды. Дворянские фамилии чаще образовывались от географических названий или церковных имён.

В написании возможны варианты: Бегунцов, Бегунцев, Бегунский. Форма Бегунцова — женская, но в быту иногда встречается и как фамилия без изменения по родам (у некоторых семей). Современные носители фамилии — люди разных профессий, но исторически их предки, скорее всего, были либо беглыми, либо просто людьми с быстрой походкой — точнее уже не узнать.