Фамилия Бегунцов — яркий пример того, как русское прозвище, данное за характерное поведение или занятие, превратилось в родовое имя. В основе лежит слово «бегун» — человек, который быстро бегает, либо тот, кто постоянно находится в движении, суетится. В старину «бегунами» называли не только скороходов, но и беглых крестьян, а также представителей старообрядческого согласия бегунов (странников), которые уклонялись от переписи и податей. Однако самая вероятная и нейтральная версия — прозвище быстрого, проворного человека, гонца или рассыльного.

Модель образования фамилии необычна и выбивается из общего ряда. Если большинство русских фамилий на -ов/-ев образуются от существительных без суффикса (Бегун → Бегунов), то здесь мы видим форму Бегунцов. Это притяжательное прилагательное от «Бегунец» — уменьшительной или уничижительной формы того же прозвища. Суффикс -ец в русских прозвищах часто указывал на молодого человека или подмастерья: «бегунец» — это либо молодой бегун, либо сын Бегуна. Таким образом, фамилия буквально значит «чей? — Бегунца», то есть потомок человека с прозвищем Бегунец.

В говорах встречались и однокоренные варианты: Бегунов (самый распространённый), Бегункин, Бегунков. Форма Бегунцов — редкая и территориально привязанная. Она характерна для южнорусских областей (Курская, Воронежская, Ростовская губернии) и отчасти для Урала, куда переселенцы принесли «окающий» говор и любовь к уменьшительным формам прозвищ. В документах XVII–XVIII веков можно встретить записи вроде «Васька Бегунец» — именно такое личное прозвище и легло в основу фамилии.

С точки зрения словообразования, фамилия Бегунцов — отчество второго порядка. Сначала было прозвище Бегун, от него образовалось Бегунец (сын или младший), а уже от этой формы — Бегунцов. Это отличает её от более простой модели «Бегунов» и делает фамилию более «длинной» и редкой. Носители фамилии, скорее всего, происходят из крестьянской или посадской среды, где прозвища давали по внешним признакам и повадкам, а не по профессии.