Фамилия Бегунков образована от прозвища Бегунок. В основе лежит слово «бегун», и первое, что приходит в голову: предок быстро бегал, мог быть гонцом или скороходом. Но есть и второй, менее очевидный, но исторически более весомый вариант — религиозный.

В XVIII веке, после правления Петра I, на Руси возникла секта бегунов (странников). Её последователи отрицали православие, церковные обряды и власть, считая, что истинно верующий должен «бежать» от мира, ведя бродячую жизнь. При Екатерине II бегуны появились в Костромской, Ярославской и Владимирской губерниях, позже — в Тверской, Вологодской и Западной Сибири, а в XIX веке — в Среднем Поволжье. Прозвище Бегунок мог получить именно такой человек — разделявший воззрения бегунов или примкнувший к их общине.

Суффикс -ок в прозвище Бегунок уменьшительный, но не всегда указывает на малый рост или юный возраст. В русской народной традиции он мог передавать ироничный оттенок или, наоборот, закрепиться как прозвище взрослого человека, если оно не звучало обидно. Фамилия на -ов образована по стандартной патронимической модели: «чей?» — Бегунков, то есть сын или потомок Бегунка.

Таким образом, фамилия Бегунков может указывать либо на физическую особенность предка (быстрота), либо на его религиозную принадлежность. Второй вариант особенно интересен тем, что связывает фамилию с конкретным историческим явлением — старообрядческим течением бегунов, которое было заметным в центральных и поволжских губерниях.