Фамилия Бигуненко — украинская по модели образования (суффикс -енко, указывающий на «сына» или «потомка»). Её основа — прозвище Бигун, которое, в свою очередь, восходит к нарицательному «бегун». Чередование гласных и/е в корне — не случайность, а следствие «икающих» говоров, распространённых в южных и восточных диалектах: произношение «бигун» вместо «бегун» закрепилось на письме.

Прозвище Бигун могло иметь два основных значения. Первое — «профессиональное»: так могли назвать гонца, посыльного или скорохода, чья работа требовала постоянного движения и быстроты. Второе — характеристическое: прозвище отражало манеру человека делать всё на бегу, его торопливость, решительность или непоседливость. Со временем прозвище полностью вытеснило крестильное имя родоначальника, и в документах фиксировалось уже как наследственное — Бигуненко, то есть «потомок Бигуна».

Фамилия нечастая, её география тяготеет к восточным областям Украины и прилегающим регионам России, где «иканье» в произношении было нормой. В отличие от более распространённых русских фамилий на -ов/-ев, модель на -енко прямо указывает на украинское происхождение: она означала принадлежность к роду, а не к владельцу земли или вотчине. Среди однокоренных — Бегунов (с сохранением литературной «е») и Бегуненко (с тем же суффиксом, но без редукции гласной). Вариант Бигуненко закрепился именно в той среде, где устная речь влияла на письменную фиксацию фамилии.