Фамилия Бигунов — редкий случай, когда основа и суффикс вступают в видимое противоречие. На первый взгляд, перед нами типичная «профессиональная» фамилия: суффикс -ов указывает на принадлежность, а корень бигун — на человека, который бегает, гонца или скорохода. Однако в русском языке слово «бигун» в значении «бегун» не закрепилось: нормативная форма — «бегун», через «е». Если бы фамилия образовалась от этого корня в русской среде, мы бы получили Бегунов. Появление Бигунова — верный признак того, что основа пришла из другого языка.

Скорее всего, фамилия имеет тюркские или кавказские корни. В тюркских языках слово «бигун» или «бегун» могло означать «князь», «господин» (ср. «бек», «бий») или же быть личным именем. В таком случае Бигунов — это русифицированная форма фамилии Бигун, к которой добавили русский патронимический суффикс -ов при переселении носителя в русскоязычную среду. Подобный процесс массово шёл в XIX — начале XX века, когда татары, башкиры или народы Северного Кавказа получали паспорта, и их фамилии адаптировали по русской модели.

Версия с прозвищем «Бигун» как «беглец» или «человек, склонный к побегам» (от диалектного глагола «бигать») менее вероятна, но не исключена для южнорусских говоров, где «и» на месте «е» встречается. Однако таких фамилий — единицы, и они почти всегда остаются в форме без суффикса (Бигун, Бигарь), а не Бигунов.

Географически фамилия Бигунов тяготеет к Поволжью и Предуралью — регионам, где веками жили тюркские народы. Встречается она нечасто, и если ваш предок носил её, велика вероятность, что он был выходцем из татарской, башкирской или ногайской среды, а фамилию получил от предка по имени Бигун или от прозвища со значением «господин».