Фамилия Бигуняк образована от прозвища Бигун. В основе лежит нарицательное «бегун» с характерным для восточнославянских говоров чередованием гласных и/е — так называемое «иканье», когда в безударной позиции произносится и слышится «и». Поэтому не стоит искать в фамилии иноязычные корни: перед нами чисто русская словообразовательная модель.

Прозвище Бигун могло относиться к «профессиональным» именованиям: так могли назвать гонца, скорохода или посыльного, чья работа требовала постоянного движения. В то же время не исключено, что предок действительно обладал выдающейся скоростью в беге — и прозвище закрепилось за ним как за лучшим бегуном в округе. И третий вариант: прозвище отражало характер — торопливость, привычку всё делать на бегу, некоторую суетливость.

Фамилию сформировал суффикс -як, который в восточнославянской ономастике часто указывает на принадлежность к роду или на носителя характерного признака (ср. Глушняк, Левшак). Таким образом, Бигуняк — это «потомок Бигуна» или «человек из рода Бигунов». В украинской традиции этот суффикс особенно продуктивен, поэтому фамилия могла окончательно оформиться именно на украинских землях, хотя исходное прозвище — общерусское. Географически фамилия тяготеет к западным и юго-западным регионам: встречается в Беларуси, на Украине и в прилегающих областях России.

Со временем прозвище Бигун, закрепившись за главой семьи, полностью вытеснило прежнее наследственное имя и в быту, и в документах, дав начало фамилии Бигуняк.