Фамилия Бигун звучит как отголосок старых русских говоров, где «и» заменяло «е». В основе — слово «бегун». Чередование и/е возникло под влиянием «икающих» диалектов, распространённых в центральной и южной России: так произносили то, что на литературном языке звучало бы как «бегун».

Прозвище Бигун могли дать по-разному. Самая прямая версия — профессиональная. Бегуном называли гонца, скорохода или посыльного, того, кто доставлял вести и распоряжения. В допетровской Руси гонцы были незаменимы: они связывали города, везли грамоты, объявляли указы. Прозвище могло закрепиться за человеком, чья служба была связана с постоянным движением.

Но есть и другая, бытовая версия. Бигуном в деревне могли окликнуть торопливого, решительного человека, который всё делал на бегу, не любил медлить. Такая характеристика — не ремесло, а черта характера — тоже становилась основой для прозвища, которое потом переходило в фамилию.

Суффикс в фамилии нулевой — Бигун, а не Бигунов. Это указывает на то, что фамилия закрепилась в форме чистого прозвища, без типичного русского патронимического суффикса -ов/-ев или -ин. Такие «глагольные» фамилии без суффикса (как Гуляй, Думай, Трубач) встречаются реже, но они есть, особенно на Украине и в южнорусских областях. Бигун могла прийти оттуда.

В ономастических справочниках фамилия нечастотна. Она не упоминается в классических трудах Унбегауна или Никонова в качестве массовой, что говорит о её локальном бытовании. Скорее всего, Бигун — фамилия, возникшая в среде крестьян или посадских людей, где прозвища были живыми и прямыми.