Фамилия Быгун — пример того, как в фамилии может скрываться неочевидный корень. С первого взгляда кажется, что основа — «быг-», но на самом деле это трансформированное «бег-». Словообразовательная модель проста: суффикс -ун, который в русских фамилиях часто указывает на носителя действия, то есть человека, который «бегает». Быгун — это тот же Бегун, но с изменением гласной, что характерно для некоторых говоров: «бег» могло звучать как «быг» под влиянием аканья или местного произношения. В результате фамилия закрепилась в такой форме, а не в более привычной «Бегунов».

Если заглянуть в историю прозвищ, «бегун» могло означать не просто скорохода. В древнерусском языке так называли человека, который быстро ходит или бегает, но также — беглого крестьянина или бродягу. В XVI–XVII веках, когда крепостное право усиливалось, прозвище Бегун могло прилипнуть к тому, кто сбежал от помещика или часто менял место жительства. Позже, когда прозвище стало фамилией, форма Быгун сохранила диалектную окраску, и её носители, скорее всего, происходят из регионов, где «ы» вместо «е» было нормой — например, из южнорусских или белорусских земель.

География фамилии сегодня редкая. Быгун встречается в основном на западе России и в Украине, что подтверждает версию о диалектном происхождении. В отличие от массовых «Бегунов», эта фамилия не получила широкого распространения, поэтому её носители, вероятно, ведут род из одной локальной группы. Интересно, что суффикс -ун в русских фамилиях встречается реже, чем -ов или -ин, и часто указывает на прозвище, которое дали по заметному качеству или поведению. Так что предок Быгун мог быть либо известным скороходом, либо человеком, который «убегал» от проблем — в прямом или переносном смысле.

Сравнение с однокоренными фамилиями, вроде Бегунов или Бегунков, показывает, что форма Быгун — более архаичная и диалектная. В словарях русских фамилий, например у Б. Унбегауна, подобные случаи с чередованием гласных описываются как результат народной этимологии или фонетических процессов. Таким образом, фамилия Быгун — не ошибка написания, а живой след говора, который застыл в документе. Кем был первый Быгун — сказать сложно, но скорее всего, простым человеком, чья быстрота или беспокойный нрав дали ему прозвище, пережившее века.