Фамилия Бгун — редкая и с точки зрения привычной русской ономастики звучит необычно. В ней нет типичных суффиксов -ов, -ин или -ский, которые сразу указывают на принадлежность («чей?»). Перед нами, скорее всего, «прозвищная» фамилия, застывшая в форме чистого прозвища или существительного, без дополнительного патронимического оформления. Такое встречается у фамилий украинского, белорусского или южнорусского происхождения, где процесс фамилизации мог обойтись без добавления суффикса, особенно если прозвище было ярким и ёмким.

Корень фамилии стоит искать в глаголе «бгать» или «бгнуть». В южнорусских и украинских говорах это слово означает «гнуть», «сгибать», «мять». Соответственно, «бгун» — это тот, кто гнетёт, мнёт, сгибает. Прозвище могло относиться к человеку с характерной сутулостью («согнутый»), либо к мастеру, чья работа связана с гибкой и сгибанием: бондарь (гнул обручи для бочек), кузнец (гнул металл), корзинщик (гнул лозу). В этом же ряду стоят однокоренные фамилии Бганов, Бгин, Бгунцов.

Есть и другая, менее очевидная версия. В некоторых говорах «бгать» имело переносное значение — «врать», «привирать», «загибать» (в смысле «загибать лишку»). Тогда Бгун мог получить прозвище за склонность к хвастовству или небылицам. Однако эта версия уступает первой по распространённости в ономастических источниках.

Географически фамилия Бгун тяготеет к западным и южным областям бывшей Российской империи: её фиксировали в Черниговской, Полтавской, Харьковской губерниях, а также на Кубани. Встречается она и в современной Беларуси. Это указывает на то, что фамилия сформировалась в среде, где украинский язык и его диалекты оказывали сильное влияние на местную ономастику. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано — это, как правило, крестьянская или казачья фамилия, возникшая из бытового прозвища.

В современном написании фамилия Бгун остаётся неизменяемой по падежам в мужском роде (Иван Бгун, к Ивану Бгуну) и склоняется по образцу существительных второго склонения в женском (Анна Бгун, к Анне Бгун).