Фамилия Бигунова — женская форма фамилии Бигунов, и чтобы понять её происхождение, нужно разобраться с мужским вариантом. Основа здесь — прозвище Бигун. В русских говорах слово «бигун» (или «бегун») означало быстроногого человека, скорохода, того, кто много ходит или бегает. В переносном смысле так могли назвать непоседу, человека, который не сидит на месте, или, напротив, гонца, посыльного. В этом случае фамилия образована от прозвища по характерному поведению или роду занятий — типичная для русских фамилий модель, когда суффикс -ов присоединяется к основе на твёрдый согласный.

Однако есть и другая, менее очевидная версия. В некоторых диалектах «бигун» могло быть связано с диалектным глаголом «бигать» (бегать), но с другим оттенком — например, «бигуном» называли того, кто уклоняется от работы, «убегает» от дел. В таком случае прозвище носило бы ироничный или осуждающий характер. Спор между этими версиями разрешается в пользу первой: прозвища по физическим качествам (быстрота, ловкость) в русской ономастике встречаются гораздо чаще, чем прозвища, основанные на лени или уклонении.

Суффикс -ов в фамилии Бигунов указывает на её принадлежность к древнейшему пласту русских фамилий — так называемым «патронимическим» фамилиям, образованным от имени или прозвища отца. То есть Бигуновы — это потомки человека по прозвищу Бигун. Географически фамилия встречается в разных регионах России, но чаще фиксируется в центральных и южных областях, где диалектная форма «бигун» была более употребительна, чем литературное «бегун». Интересно, что в старых документах можно встретить и написание «Бегунов» — это более поздняя, «облагороженная» форма, приближенная к литературной норме, тогда как «Бигунова» сохранила исконное диалектное звучание.