Фамилия Бекешкина — женская форма фамилии Бекешкин, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Суффикс -ин указывает на типично русскую модель образования от прозвищ или названий, оканчивающихся на -а/-я. В данном случае основа — Бекешк(а), а уменьшительный суффикс -к- внутри неё говорит о том, что исходное прозвище было ласкательным или бытовым.

Самая прямая версия происхождения основы — от слова бекеш (или бекеша). В русских говорах и в старом быту бекешей называли мужскую верхнюю одежду вроде короткого кафтана или сюртука на меху (слово пришло из венгерского или польского языков, где bekes — род плаща). Тогда предок получил прозвище Бекешка по одежде: либо потому, что шил или продавал такие кафтаны, либо просто из-за привычки носить характерную бекешу. В ономастике известен принцип «человек по вещи» — прозвища от предметов одежды давали портным, скорнякам или людям с заметной манерой одеваться.

Есть и вторая, менее вероятная версия, которую иногда приводят в региональных словарях: в некоторых южнорусских и украинских говорах «бекешка» — это диалектное название небольшой тыквы или кабачка. В таком случае прозвище могло закрепиться за огородником или за человеком с круглой фигурой. Однако эта гипотеза слабее, потому что прозвища от названий одежды встречаются в русских фамилиях гораздо чаще (сравните: Шубин, Кафтанов, Тулупов), а «бекеша» как вид одежды была широко известна в XIX веке.

Фамилия Бекешкин (и Бекешкина) географически привязана к центральным и поволжским регионам России. По данным переписей и архивов, она встречается в Пензенской, Саратовской, Самарской и Ульяновской областях. Эта локализация косвенно поддерживает «одежную» версию: в этих краях бекешу носили как повседневную тёплую одежду, а местные портные (скорняки) могли получить прозвище по роду занятий.

Словообразовательно фамилия прозрачна: от прозвища Бекешка (человек, связанный с бекешей) через притяжательный суффикс -ин образовалось значение «сын Бекешки», то есть «Бекешкин». Женская форма Бекешкина — это грамматическое согласование по роду, как у большинства русских фамилий на -ин. Никаких сложных дворянских или инородческих корней здесь нет: это типичная фамилия-прозвище русского крестьянского или мещанского сословия, возникшая не раньше XVII–XVIII веков.