Фамилия Бекешко — яркий пример украинской модели фамилий на -ко. Этот суффикс в украинской ономастике выполняет ту же роль, что и русские -ов/-ев: он превращает прозвище или имя в наследственное семейное имя. В основе лежит слово «бекеша» — род верхней мужской одежды, суконного кафтана на меху, распространённого у венгров и поляков, а затем и в южнорусских и украинских землях. В словаре В. И. Даля «бекеша» — это «венгерка», короткая куртка со шнурами и меховой опушкой.

Слово пришло в славянские языки через польское bekiesza от венгерского békes — «меховая куртка». Носитель прозвища Бекеша мог быть портным, специализировавшимся на пошиве такой одежды, либо просто человеком, который её постоянно носил — как характерную деталь облика. В украинских говорах слово закрепилось в форме «бекеша», и от него образовалось множество фамилий: Бекеша, Бекешев, Бекешин, а также Бекешко — с уменьшительным или патронимическим суффиксом -ко (буквально «маленький Бекеша» или «сын Бекеши»).

Фамилия Бекешко характерна для западноукраинских регионов, особенно для Львовской, Тернопольской и Ивано-Франковской областей, где польское и венгерское влияние было сильным на протяжении веков. Встречается она и в Беларуси, куда могла попасть с переселенцами или в результате смешения культур. Ударение, как правило, падает на второй слог: Беке́шко.

Менее вероятная, но возможная версия связывает фамилию с тюркским словом «бек» (князь, господин) — в этом случае Бекешко могло быть производным от имени Бекеш с тем же украинским суффиксом. Однако историческая география бытования фамилии и её связь с конкретным предметом одежды делают «портняжную» версию более убедительной. Сословно фамилия не закрепилась за дворянством — её носили преимущественно ремесленники, крестьяне и мещане, что типично для прозвищ по профессии или внешнему признаку.