Фамилия Беразовский — это, скорее всего, белорусский фонетический вариант хорошо известной фамилии Березовский. Разница в написании объясняется особенностями белорусского произношения: в нём нет привычного для русского уха аканья, а корень «бяроза» передаётся через «е». Так что ваш предок мог быть выходцем с территории современной Беларуси, где фамилию записали на слух, по-местному.

Основа фамилии — название дерева «береза» или производное от него. Чаще всего такие фамилии давали по названию места жительства: сёл и деревень с корнем «берез» (Березы, Берёзки, Березово) в славянских землях десятки. Человек, переселившийся из такого поселения, получал прозвище «Березовский» — «тот, кто из Березовки». Суффикс -ский указывает на дворянское или шляхетское происхождение, но в реальности носителями таких фамилий часто становились и крестьяне, и мещане, особенно в западных губерниях Российской империи, где эта модель была массовой.

С березой у славян связан двойственный символизм. С одной стороны, в её ветвях, по поверьям, водились русалки, а ведьмы летали на берёзовых мётлах. С другой — берёзовые ветки считались сильнейшим оберегом: их вешали над дверями, чтобы преградить нечистой силе путь в дом. Поэтому фамилия могла нести и охранительный, «защитный» оттенок.

Существует и менее правдоподобная гипотеза, связывающая основу с тюркским словом «бераз» — «немного, часть». Согласно этой версии, так могли назвать единственного, «малого» сына в семье. Однако ареал бытования фамилии (западные регионы) и её очевидная славянская словообразовательная модель делают это объяснение натянутым. Гораздо вероятнее, что ваши предки жили среди берёзовых рощ или носили фамилию по названию родного села — и в этом нет никакой мистики, только география и язык.