Фамилия Берегивский — редкий случай, когда географическая основа почти наверняка перевешивает прозвищную. Она образована по продуктивной модели на -ский, которая в XVI–XIX веках чаще всего указывала на происхождение человека из определённого места. Носитель фамилии Берегивский — скорее всего, выходец из села, деревни или урочища с похожим названием.

Корень здесь — «берег». Но не в значении «берег реки» напрямую, а через топоним. В украинской и белорусской ономастике известны сёла Берегивка, Береговое, а также населённые пункты с названием Берегив (например, в Львовской области). Формант -ивский характерен для западнорусских и украинских земель: он передаёт принадлежность к месту, как в фамилиях Дубровский, Городивский. То есть Берегивский — «тот, кто из Берегива» или «с Берегивки».

Менее вероятная, но допустимая версия — от прозвища Берегив, которое мог получить человек, живший у самого берега, или, в переносном смысле, «берегущий» что-то. Но глагольная основа «берегти» (беречь) в чистом виде дала бы другие суффиксы — например, Бережной или Бережков. Поэтому топонимическое объяснение надёжнее.

Фамилия почти не встречается за пределами восточноевропейского ареала. В России она редка, чаще фиксируется в украинских и белорусских метриках. Сословно её носители — скорее крестьяне или однодворцы, получившие фамилию по месту жительства при переписях XVIII–XIX веков. Никаких дворянских родов с такой фамилией в гербовниках не значится.

Интересная деталь: написание через «и» (Берегивский, а не Береговский) — верный маркер украинского или польского влияния. В польском языке прилагательное от brzeg (берег) могло звучать как Brzegowski, а в украинском — саме Берегівський. Со временем фамилия русифицировалась, но сохранила исходный суффикс.